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Regularized unbalanced optimal transport as entropy minimization with respect to branching Brownian motion = De la minimisation entropique par rapport au mouvement brownien branchant au transport optimal non équilibré et régularisé / A. Baradat & H. Lavenant

By: Contributor(s): Resource type: Ressourcentyp: BuchBookLanguage: English Summary language: French, English Series: Astérisque ; 458 (2025)Publisher: Paris : Société Mathématique de France, 2025Description: viii, 194 Seiten : Illustrationen ; 25 cmISBN:
  • 9782379052118
Other title:
  • De la minimisation entropique par rapport au mouvement brownien branchant au transport optimal non équilibré et régularisé
Subject(s): Additional physical formats: Erscheint auch als: Regularized unbalanced optimal transport as entropy minimization with respect to branching Brownian motion. Online-Ausgabe Paris : Société Mathématique de France, 2025. 1 Online-Ressource (viii, 194 Seiten)MSC: MSC: 49N15 | 49Q22 | 60H30 | 60J80 | 35K58 | 46E30 | 60G57Summary: We consider the problem of minimizing the entropy of a law with respect to the law of a reference branching Brownian motion under density constraints at an initial and final time. We call this problem the branching Schrödinger problem by analogy with the Schrödinger problem, where the reference process is a Brownian motion. Whereas the Schrödinger problem is related to regularized (a.k.a.entropic) optimal transport, we investigate here the link of the branching Schrödinger problem with regularized unbalanced optimal transport. This link is shown at two levels. First, relying on duality arguments, the values of these two problems of calculus of variations are linked, in the sense that the value of the regularized unbalanced optimal transport (seen as a function of the initial and final measure) is the lower semi-continuous relaxation of the value of the branching Schrödinger problem. Second, we also explicit a correspondence between the competitors of these two problems, and to that end we provide a fine description of laws having a finite entropy with respect to a reference branching Brownian motion. We investigate the small noise limit, when the noise intensity of the branching Brownian motion goes to 0: in this case we show, at the level of the optimal transport model, that there is convergence to optimal partial transport. We also provide formal arguments about why looking at the branching Brownian motion, and not at other measure-valued branching Markov processes, like superprocesses, yields the problem closest to optimal transport. Finally, we explain how this problem can be solved numerically: the dynamical formulation of regularized unbalanced optimal transport can be discretized and solved via convex optimization.Summary: Nous considérons le problème consistant à minimiser l’entropie relative d’une loi par rapport à la loi d’un mouvement brownien branchant de référence, sous des contraintes de densité aux temps extrémaux. Nous appelons ce problème le problème de Schrödinger branchant, par analogie avec le problème de Schrödinger classique, où le processus de référence est un mouvement brownien standard. Alors que le problème de Schrödinger classique est lié au transport optimal régularisé (également appelé transport optimal entropique), nous étudions ici le lien entre le problème de Schrödinger branchant et le transport optimal non équilibré et régularisé. Ce lien se manifeste à deux niveaux. Tout d’abord, nous montrons par des arguments de dualité que les valeurs de ces deux problèmes de minimisation sont intimement liées : en effet, la valeur du transport optimal non équilibré et régularisé (considérée comme une fonction de la densité initiale et de la densité finale) correspond à la relaxation semi-continue inférieurement de la valeur du problème de Schrödinger branchant. Ensuite, nous établissons une correspondance explicite entre les compétiteurs de ces deux problèmes. Pour cela, nous donnons une description détaillée des lois ayant une entropie finie par rapport à un mouvement brownien branchant de référence. Nous étudions également la limite de bruit nul, lorsque la diffusivité du mouvement brownien branchant tend vers zéro. Dans ce cas, nous montrons que notre modèle de transport optimal converge vers le transport partiel optimal. Nous présentons aussi des arguments formels expliquant pourquoi si l’on veut obtenir un problème qui se rapproche du transport optimal, l’étude du mouvement brownien branchant est plus adaptée que celle d’autres processus de Markov à valeurs mesures tels que les superprocessus. Enfin, nous expliquons comment ce problème peut être résolu numériquement : la formulation dynamique du transport optimal non équilibré et régularisé peut être discrétisée et résolue en utilisant des outils d’optimisation convexe.PPN: PPN: 1929043368
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